115年 - 115-1 國立中興大學附屬高級中學_正式教師甄試試題：數學科#138079

1. 設 z 為複數且 z 1 ，求 2 z z   2 2 的最大值= 。

2. 已知多項 式 2 5 f x x x ( ) ( 1)    展開後為 10 9 8 10 9 8 1 0 a x a x a x a x a      。 則 11 10 9 2 a a a a a 10 9 8 1 0      的值為 。

3. ABC 中，已知 AB AC   5 4， BA BC  10， CA CB   90 ，則 ABC 的面積為 。

4. 求滿足方程式 2 2 2 x x x x x x         1 2 5 3 13 的正實數 x= 。

5. 從正整數 1，2，3，…， n 中任取 相異的 兩數相乘，若這 ( 1) 2 n n  個乘積的算 術平均 數為 5 5， 則 n 值為 。

6 . 如右 圖所示 ，二直 線 1 1 L x y k : 3   與 2 2 L x y k : 2   相交 於 A 點。在 L1 上一點 P1 向左走 60 單位到 L2 上 的 P2 點； 再從 P2 向上走 到 L1 的 P3 點，再從 P3 向左走 到 L2 上的 P4 點； 依此 規則持 續走下 去，在 L1 上得到 P1， P3 ， P5 ，…， 在 L2 上得 P2， P4， P6 ，…， 則 1 1 k k k P P      。

7. 設有甲、乙、丙、丁四台電腦，利用擲一顆公正骰子的方式決定任意兩台電腦是否要連線：若出現奇數 點數，則此兩台電腦連線；若出現偶數點數，則此兩台電腦不連線。已知每個傳到其中一台電腦的訊息會 同時傳到其它和這台有連線的電腦。求甲、乙、丙、丁四台電腦的每台電腦都能夠從其它所有電腦收到訊 息的機率= 。

8. 坐標空間中有一個稜長為 1 的正立方體 OABC-DEFG，示意圖如右圖。 P 點在 CG 上，且 CP PG : 1: 2  ，若 P 點在平面 ADF 上的投影點為 H 點， 求 H 點到平面 OABC 的最短距離= 。

9. ABC 中，已知 BC=6 ，且 AB AC =2 ，當 ABC 面積有最大值時，則 cos A  。

10. 有一底面半徑為 3 公分且密度不均勻的圓柱體，傾斜漂浮在靜止的 水平面上，水面剛好通過底面直徑且與底面成 45°角，示意圖如右。 求此圓柱體在水面下的立體體積為 立方公分。(圓周率=π)

第貳部分、計算題(共 4 題，占 40 分) 一、設 a、 b 、 c 為正實數，且滿足 abc    4 ，試求 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c a b c      的最小值。

二、某租借站 的車輛 借用狀 況遵循 以下 規則：若 當天有 車，隔 天無車 的機率 為 1 4 ；若當天 無 車，隔 天無車 的機率 為 1 2 。假設第 1 天 該 站有車可 借，我們 觀察該 站的每 日車輛 狀況序列 ， 定義 隨機變數 X 為 滿足以 下條件 的最 小正整數 ：第 X 天 與第 X＋1 天皆 無車 可借。試求 X 的期 望

(1)求向量內積 PB PC  =？ (4 分)

(2)若點 K 滿足 AK x AB y AP z AC    ，其中 x y z    0, 0, 0, 且 x y z   1 ，求動點 K 所成的集合之面積？

(1) 求 f (2026) 之值？ (4 分)

(2) 求滿足 f x f ( ) (2026)  的最小正數 x=？ (6 分)