115年 - 115 國立陽明交大附中_教師甄選試題：數學科#137883

1. 有一邊長為的正八邊形 ABCDEFGH，設點 P 為的交點，點 Q 為的交點， 則三角形 APQ 的面積為________。

2. =________。

3. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚 7 人選 5 人排成一列，若同時選出甲、乙，則排列時甲、乙須相鄰；若同時選出丙、丁，則排列時丙、丁須分開，則一共有_______種不同的排列。

4. 坐標空間中，設 A，B 兩點在某直線 L 上的投影點分別為 C，D，已知 = 4， 且兩直線的方程式分別為， 則長度為_______。

5. 若方程式恰有五個實根，則 k =_______。

6. 已知三次函數 f (x) =x(x-2)(x-4) ，則=__________ 。

7. 在空間中，直線分別與平面 E₁: x+ y+z=3和 E₂ :x-y+2z=5交於 A、B 兩 點，設動點 P 在 E₁ 和 E₂ 的交線上，則三角形 △PAB 面積的最小值為________。

8. 在坐標平面上，O 為原點，圓 O: x²+y²=4有一弦在直線 x =1 上，設動點 P 在弦 上， 以為弦心距的弦為，所有可能的所形成的區域面積為________。

9. 設 z₁ 和 z₂ 為複數，且 = ________。

10. 多項式 f (x ) 滿足 xf(x-1)=(x-5) f(x)且 f (6) 1 = ，則= _______。

12. 學期成績以平常成績的 40%加上段考成績的 60%計算，已知某班同學平常成績的標準差為 20 分，段考成績的標準差為 15 分，學期成績的標準差為 13 分，則平常成績與段考成績的相關係數為________。

13. 在某瀕危石虎的復育計畫中，研究員將石虎的活動範圍簡化為一條線性的棲地路徑，由左至右 劃分為編號 0，1，2，3，4，5 的六個區塊。已知當石虎進入編號 5 的區塊(核心保護區)後， 將獲得永久安全不再移動；若進入編號 0 的區塊(開發密集區)，則會因環境威脅而消失。若該石虎每日向右移動一個區塊(編號增加 1)的機率為 0.6 ，向左移動一個區塊(編號減少 1)的 機率為 0.4 ，且該石虎目前位於編號 2 的區塊，則它最終成功到達編號 5 區塊(核心保護區) 的機率為________。

二、計算證明題：(22 分，須詳列出過程，否則不予計分)
1. 在空間坐標系中，設Ω 為一底面落在 xy 平面上之直圓錐，其底面圓方程式為x²+y² +≤ 4 ，且 頂點為 V (0,0,6) 。設平面E_h : z= h (其中 0<h<6 )與Ω相截之截痕為圓 C_h 。若 R_h 為 C_h 之內接矩形，則以 R_h 為底面、原點 O(0,0,0) 為頂點之四角錐體積的最大值為何？(7 分)

2. 設f(x)=123x²+234x-345，三次多項式 g x( ) 的首項係數為 1，且 y= g(x)  的圖形通過點 (114, f(114)) 、(115, f(115))、(116, f(116)) 。設 g ( x) 在 x =115附近的一次近似函數為 h (x) ， 則 x =114、 x =116、 y =g (x) 和 y =h ( x) 的圖形所圍成的區域面積為何？(8 分)

3. 若實係數三次多項式 f(x) 有三個相異實根，且f'(x ),f"(x) 分別為 f(x) 的一階與二階導函數，請證明： 對於所有實數 x 均成立。 (7 分)