115年 - 115 新竹市立成德高級中學_正式教師甄選：國中數學科#138019

1.計算 =______________。

2.有一等差數列 ⟨a_n ⟩，前n項的和為s_n。若 s₂₀₂₆ = 3027，s₃₀₂₇ = 1025，求 s₅₀₅₃ =______________。

3.若 a 為實數，且方程式 ax ² − x + 1 = 0 的兩根為相異的正整數，則 a 的值為______________。

4.若x² + y² = 10x + 12y + 3，則−4x + 3y的最大值為______________。

5.已知x, y, z均為實數，除了滿足 ，也同時滿足不等式x² + y² + z² + a(x + y + z) ＞ −1 ，則a的範圍為______________。

6.方程式(a − 1)x ² − (a² + 2)x + (a² + 2a) = 0及(b − 1)x² − (b² + 2)x + (b² + 2b) = 0至少有一共同根， .其中 a、b 為正整數且a ≠ b，則( a , b ) =______________。

7.若多項式f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − k) + 124 有整係數之一次因式，且 k 為整數，則k =_____________。

8.若 f= x ² − x + 2，則滿足 f(3z) = 8 的所有 z 值之和為______________。

9.方程式 x ² |x| − 5x|x| + 2x = 0 的實根個數為 m，則 m =_____________。

10.如右圖所示，一共有 27 個全等的正六邊形緊密排列， 若 ，則 x + y的值為______________。

11.已知 P 為正方形 ABCD 內部一點，且，則正方形 ABCD 的面積=________。

12.設 ΔABC 之內切圓半徑為 3，外接圓半徑為 7，內切圓分別切三邊於 D 、E 、F ，則 的面積 =_____。

13.將相同大小的 20 顆紅球，20 顆黑球，20 顆白球，分成各 30 顆球的兩堆，則共有____________種分法。

14.箱中有 5 顆大小相同的球，編號 1 號到 5 號，每次從箱中任意取出一球，再放回箱中，重複取球 n 次， 並記錄這 n 次取球的數字總和為 s_n，假設 s_n 除以 3 會餘 1 的機率為 P_n。例如： P₁表示取球 1 次時，s₁ 除以 3 會餘 1 的機率，因此需取到 1、4 號球，故 。則 P_n =_____________。

15.已知 a、b 均為實數，圓 C：x ² + y ² + ax − 4y + 3 = 0 與直線 L：y = 1 − 3x 相切於 ( 0 , b )，則圓 C 的 半徑為______________